Υλικό Φυσικής - Χημείας.

Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα, είναι καλό για όλους….

Μεταβολή και Ρυθμός μεταβολής της στροφορμής.

Στην προηγούμενη ανάρτηση Στροφορμή, είχαμε ορίσει την στροφορμή υλικού σημείου ως προς σημείο Ο, από την σχέση:

clip_image002

Έστω τώρα ότι πάνω σε ένα υλικό σημείο που κινείται σε οριζόντιο επίπεδο, ασκείται (συνισταμένη) δύναμη F, πάνω στο ίδιο επίπεδο, όπως στο σχήμα. Η στροφορμή του υλικού σημείου ως προς το σημείο Ο, φαίνεται στο σχήμα. Ποιος ο ρυθμός μεταβολής αυτής της στροφορμής;

clip_image004

Παραγωγίζοντας την παραπάνω σχέση παίρνουμε:

clip_image002[7]

Δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής ενός υλικού σημείου, ως προς ένα σημείο Ο, είναι ίσος με την ροπή της δύναμης που ασκείται πάνω του, ως προς το Ο.


Εφαρμογή 1η:

Από σημείο Ο σε ύψος Η=20m, εκτοξεύεται για t=0 οριζόντια ένα μικρό σώμα, μάζας m=0,1kg με αρχική ταχύτητα υ0=10m/s. Για τη χρονική στιγμή t1=1s, ζητούνται:

α) Η στροφορμή του σώματος ως προς το σημείο Ο.

β) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος ως προς το Ο.

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

Για την οριζόντια βολή και για τις κινήσεις πάνω clip_image012στους άξονες x και y, του διπλανού σχήματος, ισχύουν οι εξισώσεις:

υx= υ0 , υy=g∙t, x=υ0∙t και y= ½ gt2.

Έτσι για t=1s παίρνουμε:

υy= 10m/s, x=10m και y=5m.

Οπότε το σώμα έχει φτάσει στο σημείο Α με ταχύτητα μέτρου υ=10√2m/s που σχηματίζει γωνία θ=45° με την οριζόντια διεύθυνση.

Ποια είναι η στροφορμή του σώματος ως προς το σημείο Ο;

Είναι διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο της τροχιάς (επίπεδο της σελίδας) με φορά προς τα μέσα και μέτρο:

L= mυr∙ημφ

Όπου φ η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων clip_image014r και υ.

Αλλά με βάση το σχήμα ημφ= d/r έχουμε:

L=mυd

Όπου d η απόσταση του φορέα της ταχύτητας στο σημείο Α, από το σημείο Ο.

Αλλά με βάση τη Γεωμετρία, το τρίγωνο ΟΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, ενώ (ΓΔ)=(ΔΑ)=y=5m συνεπώς και (ΟΓ)=5m, οπότε d2+d2=(OΓ)2 άρα d=5/√2m και με αντικατάσταση στην (1) L=5 kgm2/s.

Έχει φασαρία;

Ας το ξαναδοκιμάσουμε:

Η στροφορμή του υλικού σημείου ως προς το Ο, είναι το διανυσματικό άθροισμα της στροφορμής εξαιτίας της ταχύτητας υx και της στροφορμής εξαιτίας της υy. Όπου και οι δύο αυτές συνιστώσες είναι κάθετες στο επίπεδο, η Lx θετική, ενώ η Ly αρνητική:

Άρα L=mυxy – mυyx

Και με αντικατάσταση L=5kgm2/s.

Αλλά και με λίγα περισσότερα Μαθηματικά:

clip_image016

Όπου υy= - 10m/s και y= -5m και με αντικατάσταση L=-5z kgm2/s.

To τελευταίο αποτέλεσμα μας λέει ότι το διάνυσμα της στροφορμής είναι κάθετο στο επίπεδο (άξονας z) και με φορά προς τα μέσα.

β) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος ως προς το σημείο Ο είναι:

dL/dt= -w∙x = -mgx

και με αντικατάσταση dL/dt= -10kgm2/s2.

Και αυτό το διάνυσμα είναι κάθετο στο επίπεδο με φορά προς τα μέσα.


Εφαρμογή 2η:

Ένα υλικό σημείο μάζας 0,2kg κρέμεται στο clip_image018άκρο νήματος μήκους l=√2m. Εκτρέπουμε το σώμα φέρνοντάς το στη θέση Α, όπου το νήμα σχηματίζει γωνία θ=45° με την κατακόρυφο και το αφήνουμε να κινηθεί. Να βρεθεί ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος, ως προς άκρο Ο του νήματος.

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

Το σώμα θα εκτελέσει επιταχυνόμενη κυκλική κίνηση με κέντρο το Ο και ακτίνα l και ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής, θα είναι κάθετος στο επίπεδο της τροχιάς, με φορά προς τα έξω και μέτρο:

dL/dt=ΣτΟ=+mgd=mgl∙ημθ

και με αντικατάσταση dL/dt=2kgm2/s2.


Εφαρμογή 3η:

Το σώμα της προηγούμενη εφαρμογής από τη θέση Α εκτοξεύεται με οριζόντια ταχύτητα, τέτοια ώστε να διαγράφει οριζόντια κυκλική τροχιά ακτίνας r=d=1m (οπότε το νήμα διαγράφει την παράπλευρη επιφάνεια ενός κώνου).

Ζητούνται:

α) Η ταχύτητα υ.

β) Η στροφορμή του σώματος ως προς το σημείο Ο.

γ) Η προβολή της στροφορμής του σώματος πάνω στον κατακόρυφο άξονα z που περνά από το κέντρο Κ της κυκλικής τροχιάς (η στροφορμή κατά τον άξονα z).

δ) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής ως προς το Ο. 

 

Απάντηση:

α) Με βάση το παρακάτω σχήμα έχουμε:

ΣFy=0 → T συνθ=mg (1)

ΣFx=mυ2/r → Τημθ = mυ2/r (2)

Από (1) και (2) παίρνουμε:

clip_image002[9]

Και με αντικατάσταση:

clip_image002[11]

β) Για την θέση του σώματος που φαίνεται στο σχήμα, η στροφορμή είναι κάθετη στο επίπεδο που ορίζει η ταχύτητα και το νήμα, οπότε σχηματίζει γωνία θ=45° με την κατακόρυφο που περνά από το Ο. Για το μέτρο της έχουμε L=mυl=0,4√5kgm2/s.

Καθώς το σώμα περιστρέφεται και το διάνυσμα της στροφορμής στρέφεται διαγράφοντας την παράπλευρη επιφάνεια ενός κατακορυφήν κώνου, αυτού που διαγράφει το νήμα.

clip_image026 clip_image028

γ) Η κατακόρυφη συνιστώσα της στροφορμής* με βάση το σχήμα της προηγούμενης ερώτησης είναι:

image

*Αν υπολογίσουμε την στροφορμή του σώματος ως προς το κέντρο Κ της κυκλικής τροχιάς του διαγραφόμενου κύκλου θα έχουμε:

image

Βλέπουμε δηλαδή ότι ως προς οποιοδήποτε σημείο του άξονα z που είναι κάθετος στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς, στο κέντρο του κύκλου, η κατακόρυφη στροφορμή, είναι όση και η στροφορμή ως προς το κέντρο του κύκλου Κ.

δ) Για τον ρυθμό μεταβολής της στροφορμής ως προς το σημείο Ο έχουμε:

dL/dt=Στ= mgd

και με αντικατάσταση dL/dt=2kgm2/s2.

Με διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που ορίζει η διεύθυνση του βάρους (κατακόρυφη) και το σημείο Ο, συνεπώς οριζόντια διεύθυνση.


Σχόλια:


1) Η στροφορμή του σώματος μεταβάλλεται, αφού αλλάζει κατεύθυνση, παρότι διατηρεί σταθερό το μέτρο της. Η συνιστώσα όμως της στροφορμής πάνω στον άξονα z, γύρω από τον οποίο στρέφεται το στερεό, δεν μεταβάλλεται. Μεταβάλλεται μόνο η οριζόντια συνιστώσα της στροφορμής, αφού διαγράφει οριζόντιο κύκλο.

Πράγματι ας δούμε τον κύκλο που διαγράφει η clip_image002[13]οριζόντια συνιστώσα.

Αν για t=0 η οριζόντια συνιστώσα της στροφορμής είναι η L1, μετά από χρόνο dt θα έχουμε

image

Και επειδή dt→0 και dφ→0, οπότε το διάνυσμα της μεταβολής της στροφορμής dL είναι κάθετο στο διάνυσμα L1, δηλαδή με άλλα λόγια η μεταβολή της στροφορμής (που έχει την κατεύθυνση της ροπής) είναι πάντα κάθετη στην οριζόντια συνιστώσα της στροφορμής, μεταβάλλοντας την κατεύθυνσή της και όχι το μέτρο της, όπως η κεντρομόλος δύναμη μεταβάλλει την κατεύθυνση της ταχύτητας αλλά όχι το μέτρο της.


2) Αν συγκρίνουμε το αποτέλεσμα της εφαρμογής 2 με αυτό της εφαρμογής 3δ, παρατηρούμε ότι και στις δύο περιπτώσεις έχουμε τον ίδιο ρυθμό μεταβολής της στροφορμής, πράγμα αναμενόμενο αφού στο σώμα ασκείται η ίδια ροπή (του βάρους). Και όμως στην πρώτη περίπτωση το σώμα κινείται προς τα κάτω διαγράφοντας κατακόρυφο κύκλο, ενώ στην δεύτερη περίπτωση δεν συμβαίνει αυτό, αφού ο διαγραφόμενος κύκλος είναι οριζόντιος.


3) Ας μεταφέρουμε το παραπάνω συμπέρασμα, imageσε μια ρόδα ποδηλάτου. Αν την αφήσουμε όρθια και ακίνητη εξαιτίας της ροπής* του ζεύγους βάρος-κάθετη αντίδραση του επιπέδου, εκτρέπεται και πέφτει.

Αν όμως κινείται, πράγμα που σημαίνει ότι έχει στροφορμή οριζόντια, η αντίστοιχη ροπή του ζεύγους, θα προκαλέσει μια οριζόντια μεταβολή dL κάθετη στην αρχική στροφορμή, με αποτέλεσμα η ρόδα να «στρίβει» λίγο, χωρίς όμως να ανατρέπεται.

image

* Η ρόδα θα πέσει αν εκτραπεί ελάχιστα από την κατακόρυφη θέση, η οποία είναι μια θέση ασταθούς ισορροπίας.

dmargaris@sch.gr

Κατεβάστε το σε pdf



Τελευταία ενημέρωση: Διονύσης Μάργαρης Οκτ 9, 2009.

Φόρουμ

Ημερομηνίες και ώρες δημοσίευσης.

Ξεκίνησε από τον/την Κωστης Λελεδακης στο Γενικά θέματα 6 Μάι.

Απορια 1 απάντηση 

Ξεκίνησε από τον/την Αγγελικη-Στεφανια Κορμά στο Γενικά θέματα. Τελευταία απάντηση από τον/την Διονύσης Μάργαρης 27 Μαρ.

Αποριες χημεια 6 απαντήσεις 

Ξεκίνησε από τον/την Γιωργος στο Θέματα Χημείας. Τελευταία απάντηση από τον/την Θοδωρής Βαχλιώτης 16 Μαρ.

Κορυφαία μήνα

1. Το δυναμικό κατά μήκος μιας ευθείας

Προστέθηκε από το χρήστη Διονύσης Μάργαρης στις 13 Μάιος 2017

2. Μια άσκηση «εντός» ύλης

Προστέθηκε από το χρήστη Διονύσης Μάργαρης στις 22 Μάιος 2017

3. Αντί για υλικό σημείο μια ράβδος

Προστέθηκε από το χρήστη Διονύσης Μάργαρης στις 4 Μάιος 2017

5. Προς τα πού θα στραφεί;

Προστέθηκε από το χρήστη Διονύσης Μάργαρης στις 30 Απρίλιος 2017

© 2017   Created by Διονύσης Μάργαρης.   Με την υποστήριξη του

Διακριτικά  |  Αναφορά προβλήματος  |  Όροι χρήσης